В начале XVII века к великому Галилею явился приятель, который захотел получить разъяснение по следующему поводу. Играя в три кости, он заметил, что число 10, как сумма очков на трех костях, появляется чаще чем число 9. «Как же так, – спрашивал игрок, – ведь как в случае девятки, так и в случае десятки эти числа набираются одинаковым числом способов, а именно шестью?» Приятель был формально прав.

Разбираясь в этом противоречии, Галилей решил одну из первых задач комбинаторики – основного инструмента расчетов вероятностей. В чем же дело? А вот в чем. Важно не то, как сумма разлагается на слагаемые, а сколько вариантов выпадения костей приводят к суммам в «девять» и «десять» очков. Галилей нашел, что «десять» осуществляется 27 способами, а «девять» – 25. Эмпирическое наблюдение получило теоретическое истолкование. Что же это за разница между числом представлений суммы через слагаемые и числом вариантов выпадения костей?

Вот на что следует обратить внимание. Рассмотрим сначала случай, когда на трех костях три разные цифры, скажем 1, 2, и 6. Этот результат может осуществляться шестью вариантами: единица на первой кости, двойка на второй и шестерка на третьей; единица на первой, шестерка на второй, двойка на третьей; также возможны два случая, когда двойка окажется на первой кости и еще два – когда на первой кости выпадет шестерка.

Иначе обстоит дело, когда сумма представлена таким образом, что два слагаемых одинаковые, например, 1 + 4 + 4 = 9. Только один вариант такого разложения появится, если на первой кости покажется единица, а на двух других четверки, ибо перестановка цифры на второй и третьей костях не дает нового варианта. Второй вариант возникает тогда, когда единичка покажется на второй кости, а третий, если она появится на третьей кости. Итого три возможности.

Наконец, ясно, что если сумма разложена на 3 + 3 + 3 = 9, то на костях такое событие осуществляется единственным способом.

Складывая числа, мы получим 25 и 27, которые нашел Галилей. Вероятности появления на двух костях сумм 9 и 10 относятся как 25 к 27.

Это с виду простое объяснение не лежало на поверхности. Достаточно сказать, что Лейбниц полагал одинаковыми вероятности появления на двух костях как 11 очков, так и 12. После работы Галилея ошибочность такого заключения стала очевидной: 12 осуществляется единственным способом: двумя шестерками, а 11 появляется в двух случаях, когда шестерка на первой кости, а пятерка – на второй, и наоборот.

При бросании двух костей чаще всего появляется сумма, равная 7. Имеется шесть возможностей набора этой суммы. Суммы 8 и 6 осуществляются уже пятью комбинациями каждая. Проверьте, если хотите это заключение.

Есть лишь одно обстоятельство, которое нарушает равенство игроков, сражающихся в такие игры как игральные кости. То есть в игры, где игрокам ничего не надо решать, ибо игрой не предусмотрен выбор (за исключением выбора: играть или отказаться). Этим обстоятельством является количество денег. Нетрудно видеть, что шансы на стороне того игрока, у которого больше денег.

Проигрыши и выигрыши чередуются случайно, и, в конце концов, обязательно встретится то, что называют «полосой везения» или «полосой невезения». Эти полосы могут быть настолько затяжными, что у партнера победнее будут выкачаны все деньги. Вычислить вероятность проигрыша не представляет труда: надо лишь возводить одну вторую в соответствующую степень. Вероятность проиграть два раза подряд – это одна четверть (1/2)² три раза подряд – одна восьмая (1/2)³... восемь раз подряд – одна шестьдесят четвертая (1/2)⁸. Если игра повторяется тысячу раз – а это, наверное, вполне возможно (как пишут в романах, игроки просиживают за картами ночи напролет), проигрыш 8 раз подряд будет делом обычным. «Разумный» игрок должен быть готов к таким «полосам», и они не должны «выбивать» его из игры вследствие опустошения карманов.