«Попытай счастья» – азартная игра, в которую играют в игорных домах. После того как игрок сделал ставку на один из номеров 1, 2, 3, 4, 5, 6, подбрасываются три игральные кости. Если номер играющего выпадает на одной, двух или трех костях, то за каждое появление этого номера игроку выплачивается первоначальная ставка и его собственные деньги. В противном случае игрок теряет ставку. Каков средний проигрыш игрока при единичной ставке? (В одной игре можно ставить на несколько номеров одновременно, но каждая ставка рассматривается отдельно).

Подсчитаем ущерб, возникающий в следующих случаях:

номера всех трех костей различны;

имеются ровно два одинаковых номера;

все три номера одинаковы.

Для простоты предположим, что на каждый номер поставлена единичная ставка.

Пусть выпало три различных номера, скажем, 1, 2 и 3. Тогда игорный дом получает три единичные ставки на выигравших номерах 4, 5, 6 и расплачивается ими за три проигравших номера: 1, 2, 3. В этом случае нет ни выигравших, ни проигравших. Ясно, что так будет всегда, когда выпадают три различных номера.

Теперь предположим, что после подбрасывания костей выпало ровно два одинаковых номера, например, 1, 1 и 2. В этом случае игорный дом может использовать ставки, поставленные на номера 3 и 4, как расплату с номером 1, а ставку с номера 5 уплатить номеру 2. Деньги же, поставленные на номер 6, таким образом, остаются игорному дому. Итак, игорный дом в этом случае выигрывает одну ставку, а игрок ее теряет, так что при единичной ставке ущерб последнего равен 1/6.

Наконец, пусть на всех костях выпало одно и то же число, скажем, 1, 1, 1. Тогда игорный дом выплачивает сумму, равную утроенной ставке, из денег, поставленных на номера 2, 3, 4, оставляя себе ставки, соответствующие номерам 5 и 6. В этом случае потеря игрока, рискующего одной ставкой, равна 2/6. Любопытно заметить, что в среднем игроки теряют больше всего в случаях двух- и трехкратной выплаты.

Для определения среднего ущерба, соответствующего единичной ставке, нужно найти вероятности рассмотренных случаев. Пусть игральные кости различаются по цвету, скажем, красная, зеленая и синяя. Они могут выпасть 6 · 6 · 6 = 216 способами.

Скольким из этих способов отвечают три различных номера? Если для краснойкости имеется 6 вариантов, то для зеленой уже только 5, так как номер, выпавший на красной кости, не должен повториться. Синяя кость может выпасть по аналогичным соображениям лишь одной из четырех граней, отличных от предыдущих. Итак, всего существует 6 · 5 · 4 = 120 вариантов.

Оставим на время второй случай и перейдем к рассмотрению третьего – когда выпадает три одинаковых номера. Число таких вариантов равно 6, так как краснаякость может выпасть шестью различными способами, а зеленая и синяя только одним, а именно тем, которым выпала красная.

Это означает, что существует 216 – 120 – 6 = 90 комбинаций, при которых выпадает ровно два одинаковых номера. В этом, впрочем, можно убедиться и непосредственно. Возможны следующие сочетания костей с одинаковыми номерами: красно-зеленая, красно-синяя и зелено-синяя. Для нахождения общего числа комбинаций определим число возможных вариантов, скажем, для сочетания красно-зеленая, и умножим его на три. Красная кость может выпасть шестью способами, зеленая – только одним и синяя – пятью, т.е. всего существует 6 · 5 · 1 = 30 таких вариантов. Окончательный результат 3 · 30 = 90 совпадает с полученным ранее.

Средний ущерб получается суммированием произведений вероятностей отдельных случаев на ущерб, им соответствующий:

(120/216) · 0 + (90/216) · (1/6) + (6/216) · (2/6) = 17/216 ≈ 0,079.

В среднем игрок теряет 8% своей ставки. Учитывая, что игра продолжается около 30 секунд, а банком выплачивается не менее 4% прибыли за год, такую игру можно назвать чудовищно несправедливой.

Проведенные расчеты верны лишь для правильных костей. Иногда вместо костей употребляется вращающееся колесо со стрелкой, которое после остановки показывает на участок окружности, отвечающий определенной комбинации из трех цифр. При этом относительные длины этих участков плохо согласуются с вероятностями появления соответствующих комбинаций при подбрасывании костей. Наблюдения показывают, что для таких колес двух- и трехкратные выплаты встречаются чаще, и значит средний ущерб еще больше.