Игра, построенная на чистом случае – лотерея. По сути дела, это та же рулетка, только играют в ней на номера. И номеров не 36, а много больше.

Перед тиражом лотереи число желающих приобрести билеты сильно возрастает. Потолкайтесь среди покупателей и увидите, что одни предпочитают слепое счастье – тянут билет наудачу, другие выбирают «хороший» номер. Желающих взять билет номер 777777 очень мало. Вы можете сколько угодно убеждать жаждущих получить крупный выигрыш за 100 копеек, что для этого одинаково пригодны (непригодны) любые билеты (вероятность выпадения выигрыша на все номера совершенно одинакова), тем не менее, вам возразят, что никогда не встречали в таблицах выигрышей номера, составленного из одних и тех же цифр. Рассуждение это ошибочно, и ошибочность его после наших разговоров о рулетке достаточно очевидна.

Номер, скажем, 594766 столь же уникален, сколь и номер 777777, и, безусловно, встречается в таблицах выигрышей также редко. Но желающий поиграть в лотерею сравнивает вероятность вполне определенного номера, состоящего из семерок, со всеми номерами вроде 594766. Ясно, что номеров, похожих на этот, то есть обладающих единственной особенностью состоять из беспорядочного ряда цифр, во много раз больше, чем номеров с одинаковыми цифрами. Само собой разумеется, что вероятность выигрыша каким-либо номером вроде 594766, то есть состоящим из произвольного ряда цифр, несоизмеримо велика в сравнении с вероятностью выигрыша по одному из девяти (только девяти: из шести единиц, шести двоек,..., шести девяток) билетов, состоящих из одинаковых цифр. Непохожесть не должна интересовать человека, выбирающего билет. Его проблема – вероятность выигрыша выбранным билетом! А вот она-то ничуть не отличается от вероятности выпадения выигрыша на номер из семерок.

Смешное заблуждение. Его психологический источник лишь один: отсутствие номера из семерок бросается в глаза, а отсутствие конкретного номера, состоящего из беспорядочной последовательности цифр, остается незаметным.

Такие игры, как рулетка, кости или лотерея должны нравиться, с одной стороны, людям резкого, импульсивного действия (им нет времени подумать), а с другой стороны – людям слабовольным, которые охотно вверяют свою судьбу в чужие руки. Игры, в которых надо принимать решения, значительно интереснее.

В начале XIX века к «чистым» азартным играм, не требующим от игрока даже ничтожных умственных усилий, прибавилась рулетка. На первых порах она не получила распространения, но уже к 1863 году в столице государства Монако – Монте-Карло создается грандиозное предприятие. Игорный дом в Монте-Карло быстро стал знаменит. Во многих романах и повестях Монте-Карло выбиралось местом действия, а героем – безумец, собирающийся обогатиться за счет его величества случая или, того хуже, за счет изобретения беспроигрышной системы.

Произведения эти вполне реалистичны. Если их дополнить полицейскими протоколами о неудачниках, покончивших с собой из-за крушения надежд стать Крезом за счет княжества Монако, то получится увесистый отчет о пагубном очаровании, которое таит в себе игорный дом.

Наверное, можно было бы не описывать рулеточное колесо и разграфленное поле, на клетки которого бросают жетоны. И все же несколько слов для читателей, незнакомых с художественной литературой, сказать стоит.

Рулетка – это большая тарелка, дно которой может вращаться относительно неподвижных бортов. Дно колеса разбито на 37 ячеек пронумерованных от 0 до 36 и покрашенных в два цвета: черный и красный. Колесо закручивается, и на него бросается шарик. Он танцует, беспорядочно перепрыгивая из ячейки в ячейку. Темп колеса замедляется, шарик делает нерешительные последние прыжки и останавливается. Выиграло, скажем, число 14 – красный цвет.

Игроки могут ставить на красное или черное; на чет или нечет; первую, вторую или третью дюжину и, наконец, на номер.

За угадывание цвета или четности вы получаете денег вдвое больше, чем внесли на игру, за выигрыш дюжины – втрое, за выигрыш номера – в тридцать шесть раз. Эти числа строго соответствовали бы вероятностям появления, если бы не одно маленькое «но» – это zero. Zero – выигрыш банкомета. При нем проигрывают и поставившие на черное, и те, кто надеялся на красный цвет.

Ставя на красное, искатель счастья действует с шансом на выигрыш, равным 18/37 – чуть-чуть меньше половины. За счет этого «чуть-чуть» существует государство Монако, и получают дивиденды пайщики Монте-Карло. Из-за zero игра в рулетку уже не равноценна для игрока и банкомета. Поставив 37 раз по доллару, я в среднем выиграю 18 раз, а проиграю 19.

Если я 37 раз ставлю по доллару на 14-й (или какой-либо другой) номер, то в среднем я выиграю один раз из тридцати семи, и за этот выигрыш мне уплатят лишь 36 долларов. Так что, как ни крути, при длительной игре проигрыш обеспечен.

Значит, нельзя выиграть в рулетку? Да нет. Конечно, можно. И мы легко подсчитаем вероятность выигрыша. Для простоты положим, что игрок пробует свое счастье каждый день. Ровно в 18:00 он появляется в казино и ставит пять раз по 1 $ на красное.

... Читать дальше »

«Попытай счастья» – азартная игра, в которую играют в игорных домах. После того как игрок сделал ставку на один из номеров 1, 2, 3, 4, 5, 6, подбрасываются три игральные кости. Если номер играющего выпадает на одной, двух или трех костях, то за каждое появление этого номера игроку выплачивается первоначальная ставка и его собственные деньги. В противном случае игрок теряет ставку. Каков средний проигрыш игрока при единичной ставке? (В одной игре можно ставить на несколько номеров одновременно, но каждая ставка рассматривается отдельно).

Подсчитаем ущерб, возникающий в следующих случаях:

номера всех трех костей различны;

имеются ровно два одинаковых номера;

все три номера одинаковы.

Для простоты предположим, что на каждый номер поставлена единичная ставка.

Пусть выпало три различных номера, скажем, 1, 2 и 3. Тогда игорный дом получает три единичные ставки на выигравших номерах 4, 5, 6 и расплачивается ими за три проигравших номера: 1, 2, 3. В этом случае нет ни выигравших, ни проигравших. Ясно, что так будет всегда, когда выпадают три различных номера.

Теперь предположим, что после подбрасывания костей выпало ровно два одинаковых номера, например, 1, 1 и 2. В этом случае игорный дом может использовать ставки, поставленные на номера 3 и 4, как расплату с номером 1, а ставку с номера 5 уплатить номеру 2. Деньги же, поставленные на номер 6, таким образом, остаются игорному дому. Итак, игорный дом в этом случае выигрывает одну ставку, а игрок ее теряет, так что при единичной ставке ущерб последнего равен 1/6.

Наконец, пусть на всех костях выпало одно и то же число, скажем, 1, 1, 1. Тогда игорный дом выплачивает сумму, равную утроенной ставке, из денег, поставленных на номера 2, 3, 4, оставляя себе ставки, соответствующие номерам 5 и 6. В этом случае потеря игрока, рискующего одной ставкой, равна 2/6. Любопытно заметить, что в среднем игроки теряют больше всего в случаях двух- и трехкратной выплаты.

Для определения среднего ущерба, соответствующего единичной ставке, нужно найти вероятности рассмотренных случаев. Пусть игральные кости различаются по цвету, скажем, красная, зеленая и синяя. Они могут выпасть 6 · 6 · 6 = 216 способами.

Скольким из этих способов отвечают три различных номера? Если для краснойкости имеется 6 вариантов, то для  ... Читать дальше »

В начале XVII века к великому Галилею явился приятель, который захотел получить разъяснение по следующему поводу. Играя в три кости, он заметил, что число 10, как сумма очков на трех костях, появляется чаще чем число 9. «Как же так, – спрашивал игрок, – ведь как в случае девятки, так и в случае десятки эти числа набираются одинаковым числом способов, а именно шестью?» Приятель был формально прав.

Разбираясь в этом противоречии, Галилей решил одну из первых задач комбинаторики – основного инструмента расчетов вероятностей. В чем же дело? А вот в чем. Важно не то, как сумма разлагается на слагаемые, а сколько вариантов выпадения костей приводят к суммам в «девять» и «десять» очков. Галилей нашел, что «десять» осуществляется 27 способами, а «девять» – 25. Эмпирическое наблюдение получило теоретическое истолкование. Что же это за разница между числом представлений суммы через слагаемые и числом вариантов выпадения костей?

Вот на что следует обратить внимание. Рассмотрим сначала случай, когда на трех костях три разные цифры, скажем 1, 2, и 6. Этот результат может осуществляться шестью вариантами: единица на первой кости, двойка на второй и шестерка на третьей; единица на первой, шестерка на второй, двойка на третьей; также возможны два случая, когда двойка окажется на первой кости и еще два – когда на первой кости выпадет шестерка.

Иначе обстоит дело, когда сумма представлена таким образом, что два слагаемых одинаковые, например, 1 + 4 + 4 = 9. Только один вариант такого разложения появится, если на первой кости покажется единица, а на двух других четверки, ибо перестановка цифры на второй и третьей костях не дает нового варианта. Второй вариант возникает тогда, когда единичка покажется на второй кости, а третий, если она появится на третьей кости. Итого три возможности.

Наконец, ясно, что если сумма разложена на 3 + 3 + 3 = 9, то на костях такое событие осуществляется единственным способом.

Складывая числа, мы получим 25 и 27, которые нашел Галилей. Вероятности появления на двух костях сумм 9 и 10 относятся как 25 к 27.

Это с виду простое объяснение не лежало на поверхности. Достаточно сказать, что Лейбниц полагал одинаковыми вероятности появления на двух костях как 11 очков, так и 12. После работы Галилея ошибочность такого заключения стала очевидной: 12 осуществляется единственным способом: двумя шестерками, а 11 появляется в двух случаях, когда шестерка на первой кости, а пятерка – на второй, и наоборот.

При бросании двух костей чаще всего появляется сумма, равная 7. Имеется шесть возможностей набора этой суммы. Суммы 8 и 6 осуществляются уже пятью комбинациями каждая. Проверьте, если хотите это заключение.

Есть лишь одно обстоятельство, которое нарушает равенство игроков, сражающихся в такие игры как игральные кости. То есть в игры, где игрокам ничего не надо решать, ибо игрой не предусмотрен выбор (за исключением выбора: играть или отказаться). Этим обстоятельством является количество денег. Нетрудно видеть, что шансы на с ... Читать дальше »

Вероятность того, что при случайном броске монета ляжет гербом кверху равняется 1/2. Значит, зная вероятность события, мы можем предсказать, что при стократном бросании монеты герб появится 50 раз? Не обязательно точно 50. Но что-нибудь около этого непременно.

Предсказания, использующие знание вероятности события, носят приблизительный характер, если число событий невелико. Однако эти предсказания становятся тем точнее, чем длиннее серия событий.

Заслуга этого открытия принадлежит Якову Бернулли (1654...1705). Он был замечательным исследователем. Конечно, и Галилей, и Паскаль, и другие мыслители, которые вводили вероятность как дробь, равную отношению благоприятных случаев к общему числу возможных вариантов, превосходно понимали, что на опыте предсказания комбинаторных подсчетов осуществляются приблизительно. Им было ясно, что число бросков, при которых монета ляжет гербом кверху, не равно в точности, а лишь близко к половине от общего числа бросков, а число бросков кубика, приводящих к шестерке сверху, не равно в точности, а лишь близко к 1/2 от общего числа бросков. Но насколько близко, сказать они не могли. На этот вопрос ответ дал Яков Бернулли. Открытый им закон, который мы называем «законом больших чисел», лежит в основе статистической физики; без этого закона не могут обойтись статистики ни одной области знания. Сущность этого закона весьма проста.

Положим, «честная» монета бросалась тысячу раз, потом еще тысячу раз, потом еще... И так много раз. Разумеется, герб редко появится ровно 500 раз. Будут серии, где отношение числа появляющихся гербов к 1000 будет совсем близко к 1/2, и такие серии, где отклонение будет довольно значительным. Каким закономерностям подчиняется это отклонение от теоретической вероятности? И – самое главное – как будет меняться отклонение от вычисленной вероятности с увеличением числа бросков?

Яков Бернулли строго доказал, что разности отношения удачных бросков к общему числу бросков и теоретического числа вероятности (в нашем примере – отклонения от 1/2) уменьшаются с возрастанием числа бросков, и эти отклонения могут быть сделаны меньше любого малого, наперед заданного числа.

Отношение числа удачных бросков к общему числу бросков называют «частотой». Закон больших чисел можно сформулировать и так: по мере увеличения числа опытов «частота» события сближается со значением вероятности.

Отклонения «частоты» от вероятности при большом числе бросков, измеряемом тысячами, становятся совсем незначительными. О результатах своих немудреных опытов по бросанию монеты поведали миру математики XVIII века. В одном таком опыте герб выпал 2028 раз при общем числе бросков 4000; когда число бросков достигло 12000, то оказалось, что герб появился 6019 раз; наконец, при числе бросков 24000 герб выпал 12012. Частоты при этом изменялись так: 0,507; 0,5016 и 0,5005.

Однако, надо ясно представлять себе, что это сближение «частоты» с вероятностью есть лишь общая тенденция. Может случиться, что отклонения от вероятности для меньшего числа опытов окажутся такими же или даже меньшими, как и отклонения при большом числе опытов. Вообще же эти отклонения от предельных законов вероятности также носят статистический характер.

Выпадение кости – классический пример случайного события. И все же интересно, можно ли наперед предусмотреть, предугадать, наконец, рассчитать и предсказать результат такого события, и как это делается? Когда мы сталкиваемся с одинаковыми ситуациями, которые приводят к случайным исходам, используется понятие «вероятность». Вероятность – это число. А раз так, то оно относится к точным понятиям, и чтобы не попасть впросак, надо пользоваться этим словом с той определенностью и недвусмысленностью, которые приняты в естествознании.

Рассуждение начинается так. Есть некая исходная ситуация, которая может привести к разным результатам: кость-кубик может упасть вверх любой гранью, из колоды берется карта – она может быть любой масти, родился человек – это может быть мальчик или девочка, завтра наступит 20 марта – день может быть дождливым или солнечным... Число исходов событий может быть самым разным, и мы должны все их держать в уме и знать, что один из них произойдет обязательно, то есть достоверно.

Перечислив все возможные исходы, возникающие из некой ситуации, математик скажет: дана группа исходов события, которая является предметом изучения теории вероятностей.

Различные результаты события, то есть различные представители группы, могут быть равновозможными. Этот самый простой вариант случайности осуществляется в азартных играх. Введем число вероятности на примере игральной кости.

Группой исходов события является выпадение единицы, двойки, тройки, четверки, пятерки и шестерки. «Исход события» звучит немного громоздко, и мы надеемся, что читатель не будет путаться, если мы иногда не станем писать первое слово. Итак, событий в группе шесть – это полное число событий.

Следующий вопрос, на который следует ответить, таков: сколько из этих событий дают интересующий нас результат? Допустим, мы хотим узнать вероятность выпадения тройки, то есть нас волнует осуществление одного события из группы. Тогда число благоприятных вариантов (одно – тройка) делят на полное число событий и получают вероятность появления интересующего нас события. В нашем примере вероятность выпадения тройки будет равна 1/6. А чему равна вероятность появления четной цифры? Очевидно, 3/6 (три благоприятных события делят на общее число событий, равное шести). Вероятность же появления числа, кратного трем, равна 2/6.

В приведенном примере, сразу ясно, о какой группе событий идет речь, вполне очевидно, что все события из-за равенства условий имеют одинаковые шансы осуществиться и заранее ясно, чему равняется вероятность интересующего нас события.

В более заурядных случаях могут быть осложнения двух типов.

Первое – вероятность исхода события не очевидна заранее. Тогда значение вероятности может быть установлено лишь на опыте.

Другая трудность, скорее логического порядка, появляется тогда, когда нет однозначности в выделении группы явлени ... Читать дальше »

Популярность игры в кости в Древней Греции, в Древнем Риме и в Европе в средние века была исключительно велика, в основном, конечно, среди высших слоев населения и духовенства. Увлечение игрой и кости слугами церкви было столь значительно, что епископ кембрезийский Витольд, не сумевший ее запретить, заменил игрой в «добродетели». Что это за игра? Вместо цифр на гранях костей были изображены символы добродетелей. Правила игры, правда, были сложными, нелегким был и итог: выигравший должен был направить на путь истинный (в отношении проигранной добродетели) того монаха, который потерпел поражение.

Вряд ли эта подмена радовала служителей культа, так как, несмотря на то, что государственные и церковные деятели неоднократно запрещали монахам играть в азартные игры, те продолжали «тешить беса».

Еще труднее было бороться с этой страстью у придворных, рыцарей, дворян и прочей знати. Указами и сообщениями о наказаниях за нарушение этих указов, жалобами членов семьи на своего кормильца и другими подобными историями полна средневековая пресса. Увлечение было насколько сильно, что существовали не только ремесленники, изготовлявшие кости, но и школы по изучению премудростей игры.

Играли двумя костями, а больше – тремя. Их встряхивали в кубке или в руке и бросали на доску. Игр существовало множество. Но, вероятно, наибольшее распространение имела игра – кто выбросит большую сумму очков.

В России игральные кости не пользовались большой популярностью. Возможно, это объясняется тем, что «просвещение» захватило придворные круги уже тогда, когда в Европе мода на кости прошла, и появились карты. Зато повсеместно процветала игра в орлянку. Оставим без внимания эту простую игру и вернемся к более сложной – к игре с костью-кубом с шестью цифрами.

Игрок встряхивает кубок рукой и выбрасывает из него кости. Вверх смотрят какие-то цифры. Какие? Любые. Предсказать их невозможно, так как здесь господствует «его величество случай». Результат события случаен, потому что зависит от большого числа неконтролируемых мелочей: и как кости легли в кубке, и какова была сила и направление броска, и как каждая из костей встретилась с доской, на которую бросали кости. Достаточно крошечного смещения в начале опыта, чтобы полностью изменился конечный результат.

Таким образом, огромное число факторов делает совершенно непредсказуемым результат выброса костей, изготовленных без жульничества. А рассуждения о том, что вот если бы была возможность разместить кости в кубке в положении, фиксируемом с микронной точностью, да если бы еще направление выбрасывания костей можно было бы установить с точностью тысячных долей углового градуса, да, кроме того, силу броска измерить с точностью до миллионных долей грамма... вот тогда можно было бы предсказать результат, и случай был бы с позором изгнан из этого опыта, – есть абсолютно пустой разговор. Ведь постоянство условий, при которых протекает явление или ставится опыт, есть практическое понятие. А условия проведения двух испытаний одинаковы лишь в том случае, если мы не можем установить различий между ними.

Если тысячи и миллионы опытов, поставленных в одних и тех же условиях, всегда приводят к определенному событию (выпущенное из руки яблоко падает на землю), то собы ... Читать дальше »

Начнем мы с замечательной новости, которую вынесли в прошлом номере газеты на первую полосу. С 1097 тиража джек-пот (Мегалот) лотереи «МЕГАЛОТ» будет возрастать ежетиражно не на 50000 гривен, как раньше, а на 500000 гривен. Таким образом, самый заманчивый и желанный приз отныне будет увеличиваться каждую неделю на 1 миллион гривен (если, конечно, он не будет сорван уже в следующем тираже). Такое решение принял оператор для повышения игрового азарта и уровня адреналина у игроков, ну и, конечно же, с целью активизации их участия в игре. Соответствующие средства как гарантию обеспеченности джек-пота лотереи «МЕГАЛОТ» будут регулярно переводить в Государственное Казначейство. Играйте с удовольствием, твердо зная, что лотерейные миллионы, во-первых, благополучно КОПЯТСЯ, а во-вторых, пребывают в полной СОХРАННОСТИ.

Для того чтобы повысить эффективность игры, чтобы приблизить желанную победу, используйте системы, которые мы регулярно публикуем в газете. В прошлом номере мы начали, а в этом завершим знакомство с замечательной системой В.Коваля «22 числа – 285 комбинаций». Добавьте к уже опубликованным 244 комбинациям сегодняшние, и вы получите систему, незаменимую для коллективной игры в «МЕГАЛОТ». Напомним, что числа 1 и 2 – фиксированные и присутствуют в каждой комбинации системы. Только таким образом удалось построить систему на столь большое количество задействованных в игре чисел, имеющую вполне разумное количество комбинаций. Итак, вот оставшаяся часть комбинаций системы В.Коваля:

1 2 3 7 10 11

1 2 4 5 8 9

1 2 4 5 7 10

1 2 4 6 7 11

1 2 4 6 8 10

1 2 4 8 9 11

1 2 5 6 7 8

1 2 5 7 9 11

1 2 5 8 10 11

1 2 6 9 10 11

1 2 7 8 9 10

1 2 13 14 16 22

... Читать дальше »