Прежде всего, (и об этом всегда следует помнить) понятие вероятности может быть определено только для  событий, которые могут повторяться большое число раз. В некоторых случаях мы можем обобщить понятие вероятности и на одноразовые события, но при этом оно теряет свой точный смысл. Будем называть ситуацию, в которой событие может произойти или не произойти "испытанием", если событие произошло, будем называть исход испытания "успешным". То какую часть от общего числа испытаний составляют успешные испытания, показывает насколько вероятны исследуемые события, эту величину называют частостьюсобытий.

Обозначим общее число испытаний N, а количество успешных исходов S, 

тогда частость

W=S / N.

Например, если мы бросили игральную кость 100 раз и из них в 19 случаях выпало 1 очко, то частость события "выпадение одного очка" будет равна 19 / 100 = 0.19. Если мы опять бросим игральную кость 100 раз то частость выпадения одного очка, скорее всего будет другой, например 0.22 или 0.13, но вряд ли она окажется меньше 0.1 или больше 0.25. Если мы будем бросать кость 1000 раз то частость, скорее всего, окажется в еще более узком диапазоне между 0.15 и 0.18. Оказывается, что чем большее число раз мы будем бросать кость, тем в более узком диапазоне будут оказываться значения частости. Разумеется, это касается не только игральной кости, это общее свойство всех случайных процессов.  Теперь дадим строгое определение вероятности в математике:

При проведении большого числа одинаковых испытаний, отношение количества исходов испытаний в которых произойдет некоторое событие к общему числу испытаний, т.е. частость события колеблется вблизи некоторой величины, все больше приближаясь к ней с увеличением количества испытаний. Эта величина называется вероятностью события.

Возьмем в качестве примера серию бросаний монеты. На рисунке показано как меняется частость выпадений монеты гербом вверх, (то есть отношение числа выпадений гербом вверх к общему числу бросаний) в зависимости от числа бросаний.

Хорошо видно, что частость выпадений монеты гербом вверх с увеличением количества бросков приближается к значению 0.5, т.е. вероятность выпадения монеты гербом вверх  = 0.5.

Разумеется, определять таким способом вероятность событий крайне утомительно, а во многих случаях просто невозможно. Но это нам и не нужно, наоборот,  как правило, задача состоит в том, чтобы каким-либо образом теоретически рассчитать вероятность события, тогда это позволяет оценить, сколько событий произойдет при большом числе испытаний. Как же можно рассчитать вероятность? Существует несколько правил, используя которые можно рассчитывать вероятности исходя только из симметрии задачи.

Сумма вероятностей всех взаимоисключающих исходов испытания равна 1.

(взаимоисключающие события - это события, которые не могут реализоваться одновременно при одном исходе испытания. Например: для тиража "СуперЛото" события "выпал номер 3" и "выпал номер 5" не взаимоисключающие - в одном и том же тираже могут выпасть оба номера. А события "все выпавшие номера - четные" и "все выпавшие номера - нечетные" взаимоисключающие.)

Простой пример: бросание игральной кости. Имеется всего 6 вариантов выпадения кости, очевидно, взаимоисключающих. Если кость симметрична, то  вероятности выпадения любой из граней должны быть одинаковы, обозначим их p. Причем их сумма 6 p должна быть равна 1, следовательно, p =1/6.

Еще пример. В тираже "КЕНО" первым может выпасть любой из 80 шариков, все эти события взаимоисключающие, считая вероятности их выпадения одинаковыми, получаем, что вероятность выпадения первым в тираже любого из шариков рана 1/80.

Примечание. Во всех примерах этой статьи выпадение номеров в числовых лотереях считается случайным и равновероятным. Справедливо это, или нет для конкретных лотерей, вопрос довольно сложный, мы еще вернемся к нему в следующих статьях. Во всяком случае, можно утверждать, что даже если выпадение номеров отличается от случайного и равновероятного, то отличия эти невелики, и все рассматриваемые примеры вполне реалистичны.

Вероятность того, что случится какой-нибудь из несколькихвзаимоисключающих исходов испытания равна сумме вероятностей этих нескольких исходов.

Пример: бросание игральной кости.

Найдем вероятность того, что выпадет число очков больше 4.

Условие выполнится для двух взаимоисключающих исходов: "выпало 5 очков" и "выпало 6 очков", как мы определили выше, вероятности обоих этих событий равны 1/6. Следовательно, вероятность того, что выпадет число очков больше 4 равна 1/6+1/6=2/6=1/3.

Это правило дает нам простой и мощный метод расчета вероятностей: Если нам удалось разбить все исходы на M  взаимоисключающих одинаковых вариантов, из которых нам подходят K вариантов, то вероятность того, что будет подходящий вариант = K / M.

Пример. Найдем вероятность того, что в тираже "СуперЛото" (6 из 49) выпадет какой-нибудь заданный номер, например, 7.

Всего существует C(49,6)=13 983 816 взаимоисключающих вариантов тиражей (основные сведения из комбинаторики, которые требуются для таких расчетов опубликованы на этом сайте. Сколько из них содержат номер  7? Это варианты, в которых имеется номер 7 и еще 5 из остальных 48 номеров, то есть их

C(48, 5)=1 712 304.

Следовательно, искомая вероятность равна

C(48, 5) / C(49,6) = 6/49 ≈ 0.122.

Этот же результат можно получить и по-другому. Вероятность выпадения номера 7 первым в тираже равна 1/49. Такая же вероятность, что он выпадет вторым, третьим, ... шестым. Следовательно, общая вероятность выпадения номера 7 в тираже будет:

1/49+1/49+1/49+1/49+1/49+1/49=6/49.

Для любого другого номера вероятность выпадения в тираже, конечно, тоже равна 6/49.

Количество выпадений любого номера за N тиражей  не должно очень сильно отличаться от величины N·6/49. Интересно сравнить эту величину с реальными результатами тиражей "СуперЛото" 6 из 49. На графике приведена статистика выпадений всех номеров за 76 тиражей.
Распределение номеров по количеству выпадений

На графике показано распределение номеров по количеству выпадений. Меньше 3 раз и больше 16 раз не выпал ни один номер. 7 номеров выпадали 8 раз, 7 номеров выпадали 9 раз и еще 7 номеров выпадали 11 раз. Это неплохо согласуется с нашим расчетом, так как 76·6/49 =9.3 следует ожидать, что количества выпадений номеров будут близки к 9.3, действительно, больше половины номеров выпадали в интервале от 8 до 11 раз. С другой стороны  номера 28 и 5 выпадали заметно реже остальных (3 и 4 раза), а номера 1 и 7 выпадали заметно чаще остальных (16 и 15 раз). Свидетельствует ли это о том, что выпадение номеров не равновероятно, или такой разброс в пределах нормы? Чтобы ответить на этот вопрос, нам надо познакомиться с еще одним понятием - статистическими распределениями, мы это сделаем в одной из следующих статей, а сейчас продолжим изучение простейших способов расчета вероятностей.

Для нескольких независимых событий, вероятность того, что они все произойдут равна произведению вероятностей этих событий.
(Два события называются независимыми, если вероятность того, что случится одно из этих событий не зависит от того, произошло другое событие или нет. Например: для тиража "СуперЛото" события "первым выпадет четный номер" и "вторым выпадет четный номер" не независимые - если первое событие произойдет, то количество четных номеров среди оставшихся уменьшится на единицу, а следовательно, вероятность, что второй номер также будет четный, будет немного меньше. События "первым выпадет четный номер" и "в следующем тираже первым выпадет четный номер" являются независимыми - одно из них ни как не влияет на другое.)

Пример. Найдем вероятность того, что во всех трех заданных тиражах "КЕНО" (20 из 80) выпадет заданный номер.

Вероятность выпадения заданного номера в тираже равна 20/80 = 1/4. Так как выпадения номера в разных тиражах не зависят друг от друга,  искомая вероятность равна:

(1/4)·(1/4)·(1/4) = 1/64 ≈ 0.0156.

Если два события не являются независимыми, вероятность того, что они обапроизойдут, равна произведению вероятности одного из событий на условнуювероятность другого события, при условии что первое событие произошло.

Пример. Найдем вероятность того, что в тираже "КЕНО" (20 из 80) выпадет заданная пара номеров. 

Вероятность выпадения, например первого номера пары равна 20/80 = 1/4. Если мы принимаем условие, что первый номер пары выпал то для второго номера вероятность выпадения теперь будет отличаться от 1/4. Второй номер будет выбираться уже из 79 (а не из 80) номеров и может выпасть на одной из 19 (а не 20 позиций, поскольку одна позиция уже занята). Таким образом, условная вероятность выпадения второго номера пары, при условии, что первый номер пары выпал будет равна 19/79. Следовательно, вероятность выпадения пары равна1/4·19/79 ≈ 0.06

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Иногда удобно рассчитывать вероятность противоположного события, а затем вычесть ее из единицы и получить искомый ответ.

(Два события называют противоположными, если каждое из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое. Например, противоположными являются события "первым выпадет четный номер" и "первым выпадет нечетный номер".)

Пример. Найдем вероятность того, что хотя бы в одном из данных трех тиражей "КЕНО" (20 из 80) выпадет заданный номер.

Вероятность невыпадения заданного номера в тираже равна 1-20/80 = 3/4.Так как выпадения номера в разных тиражах не зависят друг от друга,  вероятность, что номер не выпадет ни в одном из трех тиражей равна(3/4)·(3/4)·(3/4) = 27/64 ≈ 0.42. Следовательно, вероятность противоположного события "номер выпадет хотя бы в одном из тиражей" равна 1-27/64 = 37/64 ≈ 0.58

Еще несколько примеров:

(1-p)^N = (1-1/4·19/79)^N.

В табличке указаны численные значения для первых 14 значений №

Найдем вероятность выпадения хотя бы одной родственной пары в тираже "СуперЛото". Родственными называют комбинации призовых номеров заканчивающихся на одну и ту же цифру, например 14, 34 или 2, 12, 42.

Рассмотрим  противоположное событие,  когда  нет  ни одной родственной  пары.  В этом случае все шесть призовых номеров заканчиваются на разные  цифры.  Сколько  имеется  таких комбинаций? Для  начала  определим  число таких комбинаций отличающихся второй  цифрой призовых номеров (неважно какая первая  цифра). Шесть цифр из десяти можно выбрать C(10, 6)способами,  следовательно,  таких  вариантов будет C(10, 6)=210. При  этом в любом из этих вариантов первая цифра каждого призового  номера  может  быть  любой от 0 до 4 (для однозначных номеров первая цифра считается 0). То есть для любой комбинации вторых цифр имеется 5 вариантов первой цифры первого номера, для каждого из них пять вариантов первой цифры второго номера, и т.д. всего 5·5·5·5·5·5=5⁶=15625 вариантов. Итак, количество комбинаций, у которых все цифры разные C(10, 6)·5⁶=3281250. Здесь мы допустили небольшую неточность, так как если вторая цифра 0, то для первой цифры имеется только 4, а не пять вариантов первой цифры. Эта ошибка, в принципе, не очень велика, но мы можем посчитать и точно. Для комбинаций, не содержащих 0 второй цифрой в каком-нибудь номере (а их C(9, 6) = 84) будет 5⁶вариантов, а для комбинаций содержащих 0 второй цифрой в каком-нибудь номере (их C(9, 5)=126) будет 4·5⁵ вариантов. Всего будет С(9, 5)·4·5⁵ + C(9, 6)·5⁶ = 2887500  комбинаций, в которых нет родственных пар. Следовательно, вероятность, что в тираже не будет ни одной родственной пары (С(9, 5)·4·5⁵ + C(9, 6)·5⁶) / C(6, 49) ≈ 0.2, а следовательно, вероятность, что будет хоть одна родственная пара равна :

1- (С(9, 5)·4·5⁵ + C(9, 6)*5⁶) / C(6, 49) ≈ 0.8.

Сравним эту величину с результатами 77 тиражей лотереи <СуперЛото> 6 из 49: за этот период хотя бы одна родственная пара выпадала в 67 тиражах, что близко к ожидаемому из расчета значению 0.8·77 ≈ 62. Приведенных правил достаточно, чтобы рассчитать вероятность практически любого события в числовых лотереях.