Комбинаторика является одним из важных разделов математики и находит применение во многих науках. Несмотря на это, многие люди не знакомы даже с базовыми понятиями комбинаторики, в которых легко может разобраться любой человек, умеющий считать и знающий четыре арифметических действия - никакой высшей математики здесь не требуется. Хотя в повседневной жизни знание основ комбинаторики требуется не часто, в некоторых областях оно может быть очень полезным. Не помешает знать комбинаторику тем, кто увлекается играми, например, в карты или домино. Ну а тем, кто серьезно увлекается числовыми лотереями знать основные понятия комбинаторики и теории вероятностей просто необходимо. Именно такие начальные сведения, имеющие реальное практическое применение мы и постараемся кратко изложить в этой статье.
Для начала познакомимся с самым простым понятием перестановки. Перестановка - это способ разместить некоторое количество разных объектов в виде последовательности: такой-то объект будет первым, такой-то вторым и т.д. "Объектами" может быть что угодно - любые предметы, фигуры, знаки, числа - лишь бы они чем-нибудь отличались друг от друга. Нам будет удобнее всего использовать просто целые числа. Итак, перестановки набора чисел, например, 1, 2, 3, 4 будут такие: 2, 4, 3, 1 или 4, 1, 2, 3 и т.п. Как легко проверить, четыре числа можно расставить 24 разными способами. Чем больше чисел в наборе, тем большим количеством способов их можно расставить. Два числа можно расставить только двумя способами, три - шестью. Чтобы перебрать все способы для пяти чисел потребуется уже некоторое время - их 120. К счастью, существует простой способ рассчитать количество способов для любого набора. Для этого надо перемножить все целые числа от 1 до числа объектов в наборе. Проверим:
для набора из 1 числа число способов равно 1.
для набора из 2 чисел число способов равно 1·2=2.
для набора из 3 чисел число способов равно 1·2·3=6.
для набора из 4 чисел число способов равно 1·2·3·4=24.
для набора из 5 чисел число способов равно 1·2·3·4·5=120.
для набора из 6 чисел число способов равно 1·2·3·4·5·6=720 и т.д. Для такой математической операции есть специальное название - факториал, и обозначается она восклицательным знаком после числа: 5! =1·2·3·4·5=120 (запись 5! читается "пять факториал" или "факториал пяти") В общем случае для N объектов число всех перестановок равно N! = 1·2·3·...·(N-1)·N. Из самого определения операции факториала следует одно ее простое свойство: (N+1)! = N!·(N+1). пользуясь которым легко вычислить факториал любого числа, если известен факториал меньшего на единицу числа.В дальнейшем мы не всегда будем пользоваться понятием перестановок, но они неявно будут присутствовать в наших рассуждениях везде, где в формуле будет встречаться факториал. Теперь можно перейти к самому важному для нас понятию - сочетанию. Сочетание - это способ выбрать часть из какого-то количества объектов. Например, выбрать три числа из набора 1, 2, 3, 4, 5, который содержит пять чисел можно такими способами: 1, 2, 3 или 2, 4, 5 или 1, 2, 5 и т.д. При этом порядок, в котором мы выбрали числа, не важен - 1, 2, 3 и 3, 2, 1 считается одним и тем же вариантом выбора. Легко подсчитать, что три числа из пяти можно выбрать десятью разными способами, а, например, три числа из шести можно выбрать двадцатью способами, два числа из шести можно выбрать пятнадцатью способами. То есть, число сочетаний зависит от двух величин: количества чисел в наборе и количества чисел, которые мы выбираем. Если мы выбираем k чисел из набора, в котором всего n чисел то число возможных разных вариантов выбора называют числом сочетаний из n по k и обозначают C(n, k) или Cnk . Можно сразу указать несколько простых свойств для сочетаний:
C(n, n)=1, так как все числа из набора можно выбрать только одним способом.
C(n, 1)=n
С(n, k)=С(n, n-k)
Это легко понять, если учесть, что когда мы выбираем k чисел из набора, то мы "оставляем" в нем n-k чисел, но число способов "оставить" n-k чисел, разумеется, такое же как число способов выбрать n-k чисел.
Для любых n и k число сочетаний можно рассчитать по формуле: С(n, k) = n! / (k!·(n-k)!) = (n-k+1)·(n-k+2)·:·(n-1)·n / (1·2·:·(k-1)·k) Величины С(n, k) еще иногда называют биномиальными коэффициентами, это связано с тем, что они используются в формуле разложения бинома Ньютона. Вручную вычислить значения С(n, k) особенно для больших величин n и k затруднительно, но в большинстве компьютерных математических пакетов имеются встроенные функции (они называются обычно combin или binomial).
Приведем для справки таблицу чисел сочетаний для первых 20 значений n.
Теперь займемся применением рассмотренных понятий на практике.
Сколько существует различных вариантов тиражей для заданной лотереи?
Если в лотерее всего n номеров, а в тираже определяется k призовых номеров, то число различных тиражей есть число способов выбрать k номеров из n, то есть число сочетаний С(n, k).
Подставим числа:
"Суперлото" С(49,6)= 13 983 816
"КЕНО" С(80,20)= 3 535 316 142 212 174 320
"МЕГАЛОТ" С(42,6)= 5 245 786
В лотерее "МЕГАЛОТ" имеется дополнительный номер ("мегакулька") для которого имеется 10 вариантов выпадения, поэтому полное число тиражей будет
С(42, 6)·10=52 457 860
Для "СуперЛото" и "МЕГАЛОТ" можем теперь определить вероятности угадывания джек-пота одним игровым вариантом:
"СуперЛото" 1 шанс из 13 983 816 = 0.0000000715
"МЕГАЛОТ" 1 шанс из 52 457 860 = 0.0000000191
Величины С(k, n) для k = 1:20 и "лотерейных" значений n = 42, 49, 80 которые используются в расчетах, приведены в таблице.
Что интересного мы можем рассчитать для "КЕНО"?
Посмотрим, например,какие шансы угадать "десятку" "КЕНО". Всего в лотерее имеется С(80, 10) =1 646 492 110 120 разных комбинаций из десяти номеров. Один тираж "приносит" нам С(20, 10)=184 756 "десяток". Для одного игрового варианта вероятность, что выбранная комбинация окажется среди призовых равна
С(20, 10) / С(80, 10) = 184 756 / 1 646 492 110 120 =17/151 499 090
это примерно 1 шанс из 8 911 711 или 0.000000112
Аналогично можем рассчитать и для любого другого числа N вероятности выпадения в "КЕНО" N номеров из N заполненных (по правилам "КЕНО" имеются возможность заполнять от 2 до 10 номеров).
9 из 9 С(20, 9) / С(80, 9) = 167 960 / 231 900 297 200 = 17 / 23 471 690
это примерно 1 шанс из 1 380 688 или 0.000000724
8 из 8 С(20, 8) / С(80, 8) = 125 970 / 28 987 537 150 = 51 / 11 735 845
это примерно 1 шанс из 230 115 или 0.00000435
7 из 7 С(20, 7) / С(80, 7) = 77 520 / 3 176 716 400 = 51 / 2 089 945
это примерно 1 шанс из 40 979 или 0.0000244
6 из 6 С(20, 6) / С(80, 6) = 38 760 / 300 500 200 = 51 / 395 395
это примерно 1 шанс из 7 753 или 0.000128
5 из 5: С(20, 5) / С(80, 5) =15 504 / 24 040 016 = 51 / 79 079
это примерно 1 шанс из 1 551 или 0.000645
4 из 4 С(20, 4) / С(80, 4) = 4 845 / 1 581 580 = 969 / 316 316
это примерно 1 шанс из 326 или 0.00306
3 из 3 С(20, 3) / С(80, 3) =1 140 / 82 160 = 57 / 4108
это примерно 1 шанс из 72 или 0.0139
2 из 2 С(20, 2) / С(80, 2) =190 / 3 160 = 19 / 316
это примерно 1 шанс из 17 или 0.0601
Теперь рассчитаем шансы для частичного угадывания комбинации, т.е. угадывания M номеров из N заполненных.В каждом тираже выпадают С(20, М) из них, следовательно, вероятность выпадения заданной комбинации равна С(20, M) / С(80, M). В наборе из N заполненных номеров имеется С(N, M) комбинаций из M номеров, следовательно, вероятность выпадения выпадение одной из них равна С(N, M)·С(20, M) / С(80, M).
Например:
9 из 10 С(10, 9)·С(20, 9) / С(80, 9) = 10·167 960 / 231 900 297 200 = 17 / 23 471 69
это примерно 1 шанс из 138 069 или 0.00000724
5 из 8 С(8, 5)·С(20, 5) / С(80, 5) = 56·15 504 / 24 040 016 = 408 / 11297
это примерно 1 шанс из 28 или 0.0361
Аналогично для других лотерей формула для расчета вероятности частичного угадывания комбинации будет С(N, M)·С(T, M) / С(B, M) где B - общее число номеров в лотерее,T - количество номеров, которые разыгрываются в тираже, N - число номеров заполненных игроком, M - число призовых номеров для которых рассчитывается вероятность.
"СуперЛото" 5 из 6 С(6, 5)·С(6, 5) / С(49, 5) = 6·6 / 1 906 884 = 1 / 52 969= 0.0000189
"МЕГАЛОТ" 5 из 6 С(6, 5)·С(6, 5) / С(42, 5) = 6·6 / 850 668 = 3 / 70 889=0.0000423
Отметим, что на самом деле формула С(N, M)·С(T, M) / С(B, M) является приближенной, но для малых значений вероятностей результат мало отличается от точного значения.
|
